中学から数学だいすき!

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2乗の計算_自然数 基本

2乗の計算 目次 >

 代表的な自然数の問題を解いてみましょう。
 ・根号のつく数の大小
 ・根号のつく式が自然数
 ・自然数の式=0

 問題と解き方の例を表に示します。確認してください。
問題 解き方
( )の大小 1. 7と48 を不等式で表すと?
 
各数を2乗する。
 49>48 から、7>48 ・・・(答)
2. 2<n<3 を満たす自然数nは?
 
各数を2乗する。
 4<n<9 から、n=5,6,7,8 ・・・(答)
( )=自然数 1. (4950n)が自然数となる最小の自然数nは?
 4950=2×3
2×52×11
 
(自然数)2にする最小のnは、
 n=2×11=22 ・・・(答)
2. (84-3n)が自然数となる最小の自然数nは?
 (84-3n)=√{3(28-n)}
 根号内を
(自然数)2にするには、
 28-n=3m
2 とおける(m:自然数)。
 n=28-3m
2>0 …
 m
2<28/3=9.… から、1≦m2≦9
 m2=1,4,9
,ら、(m
2,n)=(1,25),(4,16),(9,1)
 n=1,16,25 ・・・(答)
自然数の式=0 1. m2-n2-15=0 となる、自然数(m,n)は?
 
因数分解=自然数にする。
 (m+n)(m-n)=15
 m+n>m-n 、で、15=3×5 から、
 m+n=5 m-n=3 解くと、(m,n)=(4,1)
 m+n=15 m-n=1 解くと、(m,n)=(8,7)
 (m,n)=(4,1),(8,7) ・・・(答)
2. mn-m-n-5=0 となる、自然数(m,n)は?
 
因数分解=自然数にする。
 mn-m-n-5
=m(n-1)-(n-1)-6=(m-1)(n-1)-6=0
 (m-1)(n-1)=6
 (m-1,n-1)=(1,6),(2,3),(3,2),(6,1)
 (m,n)=(2,7),(3,4),(4,3),(7,2) ・・・(答)

練習
 次の問いに答えてください。
1. (2019+n) が自然数となるような最小の自然数nを求めてください。
(豊島岡女子学園高)
2. (582-6n) が自然数となるような素数nの値を求めてください。
(都立西高)
3. (2018-2n) が整数となるような自然数nの個数を求めてください。
(都立立川高)
4. 20≦x2≦11 を満たす整数は何個ありますか。
(近畿大附属高)
5. √{(84-3n)/2} が自然数となるような、自然数nをすべて求めてください。
(青雲高)
6. m,nを1桁の自然数とするとき、mn-2m-3n+6 が素数になる(m,n)の組はいくつありますか。
(明治学院高 改題)
答 え










答 え
1.
 (2019+n)=m とおける(m:自然数)。
 2019+n=m2
 n=m2-2019 …
 n>0 から、m2>2019
 ここで、452=2025 442=1936 から、
 m2=452,462,472,…
 ,ら、m2=452 のときにnが最小になる。
 n=2025-2019=6 ・・・(答)
2.
 (582-6n)={6(97-n)} とする。
 97-n=6m2 とおける(m:自然数)。
 n=97-6m2 …
 素数nは、n≧2 から、
  97-6m2≧2 m2≦95/6=15.…
 1≦m2≦15 から、
  m2=1,4,9
 ,ら、
  m2=1:n=97-6=91=7×13
  m2=4:n=97-24=73 素数
  m2=9:n=97-54=43 素数
(答) n=43,73
3.
 2018-2n)={2(1009-n)}
 1009-n=2m2 とおける(m:整数)。
 n=1009-2m2 …
 n>0 から、m2<1009/2=504.5
 整数m2は、0≦m2≦504
 ここで、02≦m2≦222=484<504<232=529
 m2=02,12,22,32,…,222
 nの個数は、23個 ・・・(答)
4.
 20≦x2≦11 から、
 20≦x2≦121
 x2=25,36,49,64,81,100,111
 x=±5,±6,±7,±8,±9,±10,±11
(答) 14個
5.
 √{(84-3n)/2}
{3(28-n)/2}
 (28-n)/2=3m2 とおける(m:自然数)。
 28-n=6m2
 n=28-6m2
 n>0 から、m2<28/6=4.…
 1≦m2≦4 から、
  m2=1,4
 ,ら、
  m2=1:n=28-6=22
  m2=4:n=28-24=4
(答) n=4,22
6.
 mn-2m+3n-6  mでまとめる。
=m(n-2)+3(n-2)
=(m+3)(n-2)=S とする。
 (m+3)(n-2)=素数 なので、
 m+3=1 か n-2=1 AB=素数 のとき、A=1 か B=1
 m+3=1 は、m=-2 で不適
 n-2=1 のとき、
 S=m+3=素数=5,7,11 m=2,4,8
 (m,n)=(2,3),(4,3),(8,3)
(答) 3組

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