中学から数学だいすき!

算数や数学はにがて。でも、あきらめないで。
得意な人は、ミスをなくそう。
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2乗の計算 規則集2

2乗の計算 目次 >

2乗の計算_無理数
 無理数の計算
 (a)2=(a2)=a  根号の2乗
 √(a2b)=ab   根号内の最小化
 2a+3a-a=4a   たし算・ひき算
 √√b=(ab)  かけ算
 √a/√b=(a/b)  わり算
 1/a=a/(a×√a)=a/a@  分母の有理化@

2乗の計算_対称式
 対称式は、文字を入れ替えても成り立つ式で、和や積で表すことができる。
例:a+b=b+a
  ab=ba
  1/a+1/b=1/b+1/a=(a+b)/ab
  a2+b2=b2+a2=(a+b)2-2ab
  (a-b)2=(b-a)2=(a+b)2-4ab
  x2y+xy2=xy(x+y)
  x2+1/x2=(x+1/x)2-2  和:x+1/x 積:x×1/x=1

練習 x+y=3+2、xy=3-2 のとき、次の式の値を求めてください。
1. x2+y2
2. 1/x2+1/y2
3. x/y-y/x

答 え










答 え
x+y=3+2、xy=3-2 のとき、
1.  x2+y2
=(x+y)2-2xy
=(5+26)-2(3-2)
=5+22-23+26
2.  1/x+1/y
=(x+y)/(xy)
=(3+2)/(3-2)  分母を有理化する。
=(3+2)(3-2)/(3-2)
=1
3.  x/y+y/x
=(x2+y2)/(xy)
={(x+y)2-2xy}/(xy)
=(x+y)2/xy-2  (x+y)/(xy)=1 から、
=(x+y)-2
=3+2-2

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2乗の計算 規則集1

2乗の計算 目次 >

2乗の計算_指数
 指数計算
 かけ算   a2a3=a2+3=a5 たす
 わり算   a5/a3=a5-3=a2 ひく
 累乗の累乗  (a2)3=a2×3=a6 かける
 (2a)3=23a3=8a3 くばる
 (4a2)3=43(a2)3=64a6@ くばる・かける
 0乗
 マイナス乗
 偶数乗
 奇数乗
 a0=1 (∵ an-n=an/an=1)
∵ なぜならば
 a-2=1/a2 (∵ a1/a3=a-2)
 (-1)偶数=1
 (-1)奇数=-1

2乗の計算_多項式
 乗法公式
1  (a+b)(a-b)=a2-b2  和と差の積
2  (a+b)2=a2+2ab+b2  和の2乗
3  (a-b)2=a2-2ab+b2  差の2乗
4  (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab@  同類項をまとめる@
5  (a+b)(X+Y)=aX+aY+bX+bY  順にかける

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2乗の計算_自然数 応用

2乗の計算 目次 >

 これまでの知識を活用し、自然数のいろいろな問題を解いてみましょう。

練習
 次の問いに答えてください。
1. (12n) と(5n+9) がともに整数になるような最小の自然数nを求めてください。
(西大和学園高)
2. a、b、cは連続する奇数で、a<b<c<100 です。
(a+b+c) が正の整数となるaのうち、最も大きなものを求めてください。
(秋田県高)
3. aを自然数とします。a≦x≦a+1 を満たす自然数xの個数がちょうど40個あるとき、aの値を求めてください。
(早実高等部)
4. √{(2016/21)/(n+1)} の値が奇数になるとき、自然数nの値を求めてください。
(都立高)
5. N=(56x)-57 とします。Nが整数となるとき、Nの絶対値の最小値を求めてください。
(函館ラ・サール高)
答 え










答 え
1.
 (12n)=2 (3n)
 3nは、平方数なので、
 n=3,33,35,…
 5n+9 が平方数になるnの値を求める。
 n=3: 5n+9=24
 n=33: 5n+9=5×27+9=144=122 平方数
(答) n=27
2.
 a,b,cは連続する奇数なので、
  b=a+2 c=a+4
 (a+b+c)=(3a+6)=3(a+2)
 3(a+2) が自然数から、
  a+2=3m2 とおける(m:自然数)。
  a=3m2-2 …
 a<b<c=a+4<100 から、a<96
 ,ら、3m2-2<96
  m2<98/3=32.…  mは自然数から、
  1≦m2≦32
  m2=1,4,9,16,25
 ,ら、m2=25 のとき、aが最大になるので、
  a=3m2-2=75-2=73 ・・・(答)
3.
 a≦x≦a+1  2乗する。
 a2≦x≦(a+1)2
 例えば、a=2 のとき、
  4≦x≦9 x=4,5,6,…,9 から、
  xの個数は、9-4+1=6
 xの個数が40なので、
  (a+1)2-a2+1=40
  2a+2=40
  a=19  ・・・(答)
4.
 √{(2016/21)/(n+1)}=√{(96/(n+1)}
 96/(n+1)=m2 とおける(m2=12,32,52,72,…)
 m2(n+1)=96 nは自然数から、
 n+1=96/m2≧2  m2≦96/2=48
 m2=12,32,52 のときのnを求める。
 n=96/m2-1
  m2=12:n=96/1-1=95 奇数
  m2=32:n=96/9-1 不適
  m2=52:n=96/25-1 不適
(答) n=95
5.
 N=(56x)-57=2(14x)-57
 14xは平方数なので、
 x=14×12, 14×22, 14×32,…
 N=2(14x)-57 を求める。
 x=14×12: N==28-57=-29
 x=14×22: N=56-57=-1 |N|=1 (絶対値N=1)
 x=14×32: N=84-57=27
 x=14×42: N=112-57=55
    :
 よって、Nの絶対値の最小値は、1 ・・・(答)

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2乗の計算_自然数 発展

2乗の計算 目次 >

 複数の自然数を求める問題を解いてみましょう。

 例題は、2つの素数を求める問題です。不等式で一方の範囲をしぼり込み、対応する他方を求めます。2つの数が、素数の条件にあうものを答えとします。

例題
 p と q はともに素数とします。 p<q とするとき、p+q=40 となる p、q の組をすべて求め、答えを(p,q)の形で示してください。
(早大高等学院)

 q=40-p>p
 2p<40  p<20
 p=2,3,5,7,11,13,17,19
 q=40-p
 (p,q)=(2,38),(3,37),(5,35),(7,33),
    (11,29),(13,27),(17,23),(19,21)
 qも素数である組は、
 (p,q)=(3,37),(11,29),(17,23) ・・・(答)

練習
 次の問いに答えてください。
1. 自然数a、bが(2018+a)=b2 を満たすとき、最小のaの値を求めてください。
(成城高高)
2. Aは2桁の自然数で、十の位の数は一の位の数より大きく、一の位の数は0でない。
Aの十の位の数と一の位の数を入れ替えた2桁の自然数をBとします。
(A-B+9) が整数となるような自然数Aの個数を求めてください。
(都立西日比谷高)
3. 1/m+1/n=1/7 を満たす自然数 m、n (m<n)を求めてください。
(慶應義塾志木高)
4. m、nは3桁の自然数で、2019+m2=n2 を満たしています。m、nの値をそれぞれ求めてください。
(西大和学園高)
5. 3x+7y+4z=24 を満たす自然数x、y、zの組をすべて求めてください。
(ラ・サール高)
答 え










答 え
1.
 (2018+a)=b2  両辺を2乗する。
 2018+a=2b2
 a=2b2-2018 …
 a≧1 から、2b2-2018≧1
 b2≧2019/2=1009.5
 b2≧1010
 ここで、312=961 322=1024 から、
 b2≧322
 ,ら、b2が最小のとき、aが最小になる。
 a=2b2-2018=2048-2018=30 ・・・(答)
2.
 A=10m+n とおける(m,n:自然数、1≦m,n≦9)。
 m>n
 B=10n+m
 (A-B+9)=10(m-n)+n-m+9=9(m-n+1) から、
 (A-B+9)=3(m-n+1)
 m-n+1 は平方数である。m>n から、
 2≦m-n+1≦9
 m-n+1=4,9 これを満たす(m,n)は、´△両豺腓任△襦
m-n=3:
 (m,n)=(9,6),(8,5),(7,4),(6,3),(5,2),(4,1)
m-n=8:
 (m,n)=(9,1)
 ´△鮃腓錣擦董7個・・・(答)
3.
 1/m+1/n=1/7  7mnをかける。
 7n+7m=mn
 mn-7m-7n=0  mでまとめる。
 m(n-7)-7(n-7)=49  (n-7)でまとめる。
 (m-7)(n-7)=49
 m<n から、(m-7)<(n-7)
 (m-7)と(n-7)は自然数なので、
 (m-7,n-7)=(1,49)
 (m,n)=(8,56) ・・・(答)
4.
 2019+m2=n2 和と差の積にする。
 (n+m)(n-m)=2019=1×2019=3×673
 m+n>m-n から、´△両豺腓ある。
n+m=2019 n-m=1
 2式の和から、2n=2020 n=1010 (4桁で不適)
n+m=673 n-m=3
 2式の和から、2n=676 n=338
 2式の差から、2m=670 m=335
(答) m==335, n=338
(参考) 673は素数か?
252=625<673<262=676
673が素数でないとすると、25以下の約数をもつ。
673を素数 2,3,5,7,13,17,23 で割ってみる。
 673/2, 673/3, 673/5, …, 673/23
すべて、割り切れない。
約数がないので、673は素数である。
5.
 3x+7y+4z=24
 3x+7y=4(6-z)  x,yは自然数から、
 4(6-z)≧3+7=10
 6-z≧10/4
 z≦6-2.5=3.5  zは自然数から、
 1≦z≦3  ´↓の場合がある。
z=1 のとき、
 3x+7y=20
 7y=20-3x≧7
 x≦13/3=4.…
 1≦x≦4
  x=1: y=(20-3x)/7≠自然数
  x=2: y=(20-3x)/7=2
  x=3: y=(20-3x)/7≠自然数
  x=4: y=(20-3x)/7≠自然数
z=2 のとき、
 3x+7y=16
 7y=16-3x≧7
 x≦3
 1≦x≦3
  x=1: y=(16-3x)/7≠自然数
  x=2: y=(16-3x)/7≠自然数
  x=3: y=(16-3x)/7=1
z=3 のとき、
 3x+7y=12
 7y=12-3x≧7
 x≦5/3=1.…
 x=1: y=(12-3x)/7≠自然数
(答) (x,y,z)=(2,2,1),(3.1,2)

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2乗の計算_自然数 基本

2乗の計算 目次 >

 代表的な自然数の問題を解いてみましょう。
 ・根号のつく数の大小
 ・根号のつく式が自然数
 ・自然数の式=0

 問題と解き方の例を表に示します。確認してください。
問題 解き方
( )の大小 1. 7と48 を不等式で表すと?
 
各数を2乗する。
 49>48 から、7>48 ・・・(答)
2. 2<n<3 を満たす自然数nは?
 
各数を2乗する。
 4<n<9 から、n=5,6,7,8 ・・・(答)
( )=自然数 1. (4950n)が自然数となる最小の自然数nは?
 4950=2×3
2×52×11
 
(自然数)2にする最小のnは、
 n=2×11=22 ・・・(答)
2. (84-3n)が自然数となる最小の自然数nは?
 (84-3n)=√{3(28-n)}
 根号内を
(自然数)2にするには、
 28-n=3m
2 とおける(m:自然数)。
 n=28-3m
2>0 …
 m
2<28/3=9.… から、1≦m2≦9
 m2=1,4,9
,ら、(m
2,n)=(1,25),(4,16),(9,1)
 n=1,16,25 ・・・(答)
自然数の式=0 1. m2-n2-15=0 となる、自然数(m,n)は?
 
因数分解=自然数にする。
 (m+n)(m-n)=15
 m+n>m-n 、で、15=3×5 から、
 m+n=5 m-n=3 解くと、(m,n)=(4,1)
 m+n=15 m-n=1 解くと、(m,n)=(8,7)
 (m,n)=(4,1),(8,7) ・・・(答)
2. mn-m-n-5=0 となる、自然数(m,n)は?
 
因数分解=自然数にする。
 mn-m-n-5
=m(n-1)-(n-1)-6=(m-1)(n-1)-6=0
 (m-1)(n-1)=6
 (m-1,n-1)=(1,6),(2,3),(3,2),(6,1)
 (m,n)=(2,7),(3,4),(4,3),(7,2) ・・・(答)

練習
 次の問いに答えてください。
1. (2019+n) が自然数となるような最小の自然数nを求めてください。
(豊島岡女子学園高)
2. (582-6n) が自然数となるような素数nの値を求めてください。
(都立西高)
3. (2018-2n) が整数となるような自然数nの個数を求めてください。
(都立立川高)
4. 20≦x2≦11 を満たす整数は何個ありますか。
(近畿大附属高)
5. √{(84-3n)/2} が自然数となるような、自然数nをすべて求めてください。
(青雲高)
6. m,nを1桁の自然数とするとき、mn-2m-3n+6 が素数になる(m,n)の組はいくつありますか。
(明治学院高 改題)
答 え










答 え
1.
 (2019+n)=m とおける(m:自然数)。
 2019+n=m2
 n=m2-2019 …
 n>0 から、m2>2019
 ここで、452=2025 442=1936 から、
 m2=452,462,472,…
 ,ら、m2=452 のときにnが最小になる。
 n=2025-2019=6 ・・・(答)
2.
 (582-6n)={6(97-n)} とする。
 97-n=6m2 とおける(m:自然数)。
 n=97-6m2 …
 素数nは、n≧2 から、
  97-6m2≧2 m2≦95/6=15.…
 1≦m2≦15 から、
  m2=1,4,9
 ,ら、
  m2=1:n=97-6=91=7×13
  m2=4:n=97-24=73 素数
  m2=9:n=97-54=43 素数
(答) n=43,73
3.
 2018-2n)={2(1009-n)}
 1009-n=2m2 とおける(m:整数)。
 n=1009-2m2 …
 n>0 から、m2<1009/2=504.5
 整数m2は、0≦m2≦504
 ここで、02≦m2≦222=484<504<232=529
 m2=02,12,22,32,…,222
 nの個数は、23個 ・・・(答)
4.
 20≦x2≦11 から、
 20≦x2≦121
 x2=25,36,49,64,81,100,111
 x=±5,±6,±7,±8,±9,±10,±11
(答) 14個
5.
 √{(84-3n)/2}
{3(28-n)/2}
 (28-n)/2=3m2 とおける(m:自然数)。
 28-n=6m2
 n=28-6m2
 n>0 から、m2<28/6=4.…
 1≦m2≦4 から、
  m2=1,4
 ,ら、
  m2=1:n=28-6=22
  m2=4:n=28-24=4
(答) n=4,22
6.
 mn-2m+3n-6  mでまとめる。
=m(n-2)+3(n-2)
=(m+3)(n-2)=S とする。
 (m+3)(n-2)=素数 なので、
 m+3=1 か n-2=1 AB=素数 のとき、A=1 か B=1
 m+3=1 は、m=-2 で不適
 n-2=1 のとき、
 S=m+3=素数=5,7,11 m=2,4,8
 (m,n)=(2,3),(4,3),(8,3)
(答) 3組

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